Pessoal,
Vamos dar uma espreitadela à vida de um estudante de pós-graduação da Universidade de Ivy…
John Foster sentia-se muito afortunado. Não só tinha concluído a licenciatura com a classificação «summa cum laude», como agora era estudante de pós-graduação na Universidade de Ivy, sob a orientação da famosa professora Patty Coleman. Enquanto se deixava levar por estes pensamentos agradáveis, estava a fazer os trabalhos de casa de estatística avançada quando a professora Coleman se aproximou da sua secretária.
«Olá, John, tenho uma pequena tarefa para ti. Mike Madigan, diretor executivo da ACME, tem um fornecedor que garante zero defeitos nos lotes de díodos que a ACME compra; no entanto, quando a ACME recebe os lotes, constata uma taxa de defeitos de cerca de 1% ou mais. Podes contactar o engenheiro de qualidade da ACME, Frank Ianonne, para veres como podes ajudar?”, perguntou a Patty. «Abordámos este tema na aula introdutória de estatística que frequentaste no semestre passado», concluiu ela.
«Claro, é um prazer ajudar», respondeu o John.
«Obrigada, vou ao PanPac da SMTA pela primeira vez e tenho imenso que fazer lá», disse a Patty, agradecida.
«Uau», pensou o John, «a pressão está a aumentar.»
O John contactou o Frank e ficou a saber que o engenheiro de vendas do fornecedor, Mike Gladstone, afirmou que analisam uma amostra de 20 díodos de cada lote de 10 000 peças. Se não encontrarem defeitos na amostra de 20, afirmam que podem concluir que há 0 defeitos com 95% de confiança, uma vez que 19 em 20 corresponde a 95% e não encontraram defeitos.
«Caramba», pensou o John, «isto não pode estar certo.»
Ele refletiu sobre o assunto e acabou por chegar àquilo que, com toda a certeza, considerava ser a resposta, sobretudo depois de consultar os seus apontamentos da aula a que o Professor Coleman se referiu. Entrou em contacto com o Frank e marcaram uma chamada pelo Zoom com o Mike para discutir o assunto.
Na chamada pelo Zoom, após as apresentações, o Frank perguntou ao Mike como é que determinam se um lote não apresenta defeitos.
«Fico contente por ter a oportunidade de explicar isto a vocês», disse o Mike.
A John pareceu que o seu tom era arrogante.
Mike continuou: «Bem, vais concordar que 19 em 20 é 95 %, certo?»
«Sim», responderam o Frank e o John.
«Portanto, se não encontrarmos nenhum defeito nas 20 amostras, podemos afirmar que o lote não apresenta defeitos, com 95% de confiança. Se encontrássemos um defeito nas 20 amostras, não poderíamos afirmar que o lote não apresenta defeitos», disse o Mike.
«Mike, olha para a imagem que tirei de um defeito (uma conta vermelha) entre 2000 contas.» (Ver Figura 1.) «Se eu selecionasse 20 contas do lado esquerdo do recipiente, como saberia que a taxa de defeitos é de 0,0005 (1 em 2000)?», perguntou o John.
Figura 1. A conta vermelha é um «defeito» em cada 2000.
Houve um longo silêncio.
«Mike, qual é a tua resposta?», perguntou o Frank.
Ainda não há resposta.
«A resposta é que a única forma de garantir zero defeitos é avaliar todas as amostras», afirmou John.
«Estás só a confundir as coisas com aquela foto», disse o Mike com desdém.
«Parece-me bastante claro», disse o Frank.
«Vocês, tipos da Ivy League, são todos iguais. Confundem a questão com um monte de disparates, quando até um idiota qualquer consegue ver que tenho razão», gritou o Mike.
Seguiram-se alguns palavrões e o Frank cortou a transmissão do Mike no Zoom.
«Compreendo o que queres dizer, John», disse o Frank. «Mas podes dar-me alguns cálculos para sustentar essa ideia?»
«Claro», respondeu o John.
«Vamos considerar um caso em que a taxa de defeitos não é zero, mas é bastante baixa, digamos 1 em 10 000 numa população muito grande. Quando selecionamos a primeira amostra, a probabilidade de esta ser boa é de 0,9999 [(10 000 – 1)/10 000]. Qual é a probabilidade de a segunda amostra ser boa?», perguntou o John.
«Ah, vejamos… 0,9999, certo?», respondeu o Frank.
«Mas qual é a probabilidade de ambos os acontecimentos ocorrerem?», perguntou o John.
«Espera, lembro-me de uma aula de estatística que tive há alguns anos: é 0,9999 × 0,9999», disse o Frank, triunfante.
«E qual é a probabilidade de três seguidos serem bons?», perguntou o John novamente.
«0,99993», respondeu o Frank com confiança.
«Então, digamos que fazemos tantas amostragens — chamemos-lhes n — que0,9999n = 0,05. O que é que isto nos diz?», perguntou o John.
«Hmm, ……», respondeu o Frank.
«Bem, qual é a probabilidade de isto acontecer se a taxa de defeitos for de 1 em 10 000?», perguntou o John.
«Espera, já percebi, isso só aconteceria 0,05 ou 5% das vezes», respondeu o Frank, entusiasmado.
«Então, digamos que não conhecíamos a taxa de defeitos. O que poderíamos concluir se fizéssemos uma amostragem de n unidades e não encontrássemos nenhum defeito?», perguntou o John.
O Frank ficou sem saber o que fazer.
«Vou dizer-te uma coisa: pensa nisso e voltamos a falar amanhã. Já são quase 18h. Ah, e vê se consegues calcular qual é o valor de n. Vamos fazer uma reunião no Zoom às 10h», propôs o John.
O tempo passou a voar e o John e o Frank estavam outra vez no Zoom.
«John, quase me mataste, tive dificuldade em dormir, mas acho que já percebi, depois de rever o meu livro de estatísticas e de ver alguns vídeos no YouTube», começou Frank.
«Bem, se não soubéssemos qual era a taxa de defeitos e quiséssemos verificar se era, pelo menos, tão boa quanto 1 em 10 000, e se selecionássemos uma amostra de n de forma a que0,9999n = 0,05, poderíamos afirmar com uma confiança de 0,95 (1 – 0,05) que a taxa de defeitos era de 1 em 10 000 ou inferior», disse Frank triunfalmente.
«Exatamente», exclamou o John.
«Mas o que é n?», perguntou o João.
«É aí que estou encravado. Temos a equação0 ,9999n = 0,05, mas não consigo resolver para n», disse Frank, desanimado.
«Dica: logaritmos», respondeu o John.
«É isso mesmo, já percebi», disse o Frank com entusiasmo.
O Frank trabalhou durante alguns minutos com uma calculadora e chegou à solução apresentada na Figura 2.
Figura 2. O cálculo dos defeitos
«Portanto, para demonstrar, com 95 % de confiança, que a taxa de defeitos é de 1 em 10 000 ou menos, teríamos de analisar quase 30 000 componentes e não encontrar nenhum defeito», exclamou Frank.
«Ao analisar a equação, percebe-se que, se a taxa de defeitos fosse zero, o valor 0,9999 seria substituído por 1 e, como o logaritmo de 1 é 0, seria necessária uma amostra infinita», afirmou John.
«Portanto, a única forma de comprovar que não há defeitos é analisar todos os componentes», disse o Frank.
«Exato!», respondeu o John.
Saúde,
Dr. Ron
