Les gens,
Regardons un étudiant diplômé de l'université d'Ivy...
John Foster se sentait très chanceux. Non seulement il a obtenu son diplôme de premier cycle summa cum laude, mais il est maintenant étudiant de troisième cycle à l'université Ivy, sous la tutelle du célèbre professeur Patty Coleman. Tout en contemplant ces agréables pensées, il travaillait sur son devoir de statistiques avancées lorsque le professeur Coleman s'est approché de son bureau.
"John, j'ai une petite mission à te confier. Mike Madigan, PDG d'ACME, a un fournisseur qui garantit zéro défaut dans les lots de diodes qu'ACME achète, mais lorsque ACME reçoit les lots, elle constate un taux de défaut d'environ 1 % ou plus. Pouvez-vous contacter l'ingénieur qualité d'ACME, Frank Ianonne, pour voir comment vous pouvez l'aider ? demande Patty. "Nous avons abordé ce sujet dans le cours d'introduction aux statistiques que vous avez suivi le trimestre dernier", conclut-elle.
"Bien sûr, je suis heureux de pouvoir vous aider", a répondu John.
"Merci, je vais au PanPac de la SMTA pour la première fois et j'ai beaucoup de choses à y faire", a dit Patty avec reconnaissance.
"Wow", pense John, "la pression est à son comble".
John a contacté Frank et a appris que l'ingénieur commercial du fournisseur, Mike Gladstone, a déclaré qu'il prélevait un échantillon de 20 diodes sur chaque lot de 10 000 pièces. S'ils ne trouvent aucun défaut dans l'échantillon de 20 diodes, ils affirment qu'ils peuvent dire qu'il n'y a aucun défaut avec un niveau de confiance de 95 %, puisque 19 sur 20 représentent 95 % et qu'ils n'ont trouvé aucun défaut.
"Mince", se dit John, "ce n'est pas possible".
Il a réfléchi et a finalement trouvé ce qu'il pensait être la réponse, surtout après avoir consulté ses notes du cours mentionné par le professeur Coleman. Il a contacté Frank et ils ont organisé un appel Zoom avec Mike pour discuter de la question.
Lors de l'appel Zoom qui a suivi les présentations, Frank a demandé à Mike comment ils déterminaient qu'un lot ne présentait aucun défaut.
"Je suis heureux d'avoir l'occasion de vous expliquer cela", a déclaré Mike.
John a eu l'impression que son ton était arrogant.
Mike poursuit : "Vous conviendrez que 19 sur 20, c'est 95%, n'est-ce pas ?".
"Oui", répondent Frank et John.
"Ainsi, si nous n'obtenons aucun défaut sur 20 échantillons, nous avons zéro défaut dans le lot avec un niveau de confiance de 95 %. Si nous avions un défaut sur les 20 échantillons, nous ne pourrions pas prétendre que le lot est exempt de tout défaut", explique Mike.
"Mike, regarde l'image que j'ai prise d'un défaut (une perle rouge) sur 2000 perles. (Voir figure 1.) "Si je sélectionne 20 billes sur le côté gauche du récipient, comment puis-je savoir que le taux de défaut est de 0,0005 (1 sur 2000) ?" demande John.
Figure 1. La perle rouge représente un "défaut" sur 2000.
Il y a eu un long silence.
"Mike, quelle est ta réponse ? demande Frank.
Toujours pas de réponse.
"La réponse est que la seule façon de garantir l'absence de défauts est d'évaluer tous les échantillons", a déclaré John.
"Tu ne fais que brouiller les pistes avec cette photo", crache Mike.
"Cela me semble tout à fait clair", a déclaré Frank.
"Vous êtes tous pareils, vous, les gens de l'Ivy League. Vous brouillez les pistes avec du charabia alors que n'importe qui peut voir que j'ai raison", a hurlé Mike.
Quelques injures ont suivi et Frank a coupé l'alimentation Zoom de Mike.
"Je vois ce que tu veux dire, John", dit Frank. "Mais peux-tu me donner quelques chiffres pour l'étayer ?"
"Bien sûr", répond John.
"Considérons un cas où le taux de défaut n'est pas nul, mais assez faible, disons 1 sur 10 000 dans une très grande population. Lorsque nous sélectionnons le premier échantillon, la probabilité qu'il soit bon est de 0,9999 (10 000-1)/10000). Quelle est la probabilité que le second échantillon soit bon ?". demande John.
"Ah, voyons voir... 0,9999, c'est ça ? répond Frank.
"Mais quelle est la probabilité que ces deux événements se produisent ? demande John.
"Attendez, je me souviens d'un cours de statistiques que j'ai pris il y a quelques années, c'est 0,9999 x 0,9999", dit Frank triomphalement.
"Et la probabilité que trois d'affilée soient bonnes ?" demande encore John.
"0,99993", répond Frank avec assurance.
"Supposons que nous prélevions des échantillons autant de fois, disons n fois, que 0,9999n = 0,05. Qu'est-ce que cela nous apprend ?", demande John.
"Hmm, .........", a répondu Frank.
"Quelle est la probabilité que cela se produise si le taux de défauts est de 1 sur 10 000 ? demande John.
"Attendez, je vois, cela n'arriverait que 0,05 ou 5 % du temps". répond Frank avec enthousiasme.
"Supposons que nous ne connaissions pas le taux de défauts, que pourrions-nous dire si nous échantillonnions n et n'obtenions aucun défaut ? a demandé John.
Frank était perplexe.
"Je vais te dire, réfléchis et nous reviendrons demain. Il est déjà presque 18 heures. Oh, et vois si tu peux calculer ce que représente n. Zoomons à 10 heures", propose John.
Le temps passe vite et John et Frank se remettent à zoomer.
"John, tu as failli me tuer, j'ai eu du mal à dormir, mais je pense que je l'ai après avoir relu mon livre de statistiques et fait un peu de Youtubing", a commencé Frank.
"Eh bien, si nous ne connaissons pas le taux de défauts et que nous voulons voir s'il est au moins aussi bon que 1 sur 10 000 et que nous échantillonnons n de telle sorte que 0,9999n = 0,05, nous pourrions dire avec 0,95 (1 - 0,05) de confiance que le taux de défauts est de 1 sur 10 000 ou moins", a déclaré Frank triomphalement.
"Exactement", s'exclame John.
"Mais qu'est-ce que n ? demande John.
"C'est là que je suis bloqué. Nous avons l'équation 0,9999n= 0,05, mais je n'arrive pas à résoudre n", explique Frank, dépité.
"Indice : logarithmes", a répondu John.
"C'est ça, je l'ai", dit Frank avec enthousiasme.
Frank a travaillé quelques minutes avec une calculatrice et a trouvé la solution de la figure 2.
Figure 2. Le calcul des défauts
"Ainsi, pour démontrer avec un niveau de confiance de 95 % que le taux de défaut est de 1 sur 10 000 ou moins, nous devrions échantillonner près de 30 000 composants et ne trouver aucun défaut", s'exclame M. Frank.
"En examinant l'équation, on constate que si le taux de défaut était nul, 0,9999 serait remplacé par 1 et le logarithme de 1 étant égal à 0, on aurait besoin d'un échantillon infini", explique John.
"La seule façon de montrer qu'il n'y a pas de défaut est de prélever des échantillons de tous les composants", a déclaré M. Frank.
"C'est vrai !", répond John.
Santé,
Dr. Ron
