皆さん、
アイビー大学の大学院生を覗いてみよう...。
ジョン・フォスターはとても幸運だったと思う。学士号を優秀な成績で取得しただけでなく、有名なパティ・コールマン教授の指導の下、アイビー大学の大学院生になっていたのだ。そんな楽しいことを考えながら、上級統計学の宿題に取り組んでいたとき、コールマン教授が彼の机まで歩いてきた。
「ジョン、君にちょっとした仕事があるんだ。ACMEのマイク・マディガンCEOは、ACMEが購入するダイオードのロットで不良品ゼロを保証しているベンダーがあるのですが、ACMEがそのロットを入手したところ、約1％以上の不良率が見つかりました。ACMEの品質エンジニア、フランク・イアノンヌに連絡して、どうしたらいいか相談に乗ってもらえないでしょうか」。とパティは尋ねた。「このトピックは、前学期の統計学入門の授業でも取り上げましたね」。
「もちろん、喜んで」とジョンは答えた。
「ありがとう。SMTAのパンパックには初めて行くんだけど、そこでいろいろと予定があるんだ」とパティは感謝した。
「プレッシャーがかかっている」とジョンは思った。
ジョンはフランクに連絡し、そのベンダーのセールスエンジニア、マイク・グラッドストーンが、1万個のロットから20個のダイオードをサンプリングしていることを知った。もし20個のサンプルから欠陥が見つからなければ、20個中19個で95％であり、欠陥は見つからなかったので、95％の信頼度で欠陥は0個と言えると言う。
「やばい」とジョンは思った。
特にコールマン教授が言っていた授業のノートを見た後ではなおさらだった。彼はフランクに連絡し、マイクとこの問題について話し合うためにズーム・コールを設定した。
自己紹介のあとのZoomコールで、フランクがマイクにロットの欠陥がゼロであることをどうやって判断するのかと尋ねた。
「君たちにこのことを説明する機会があって嬉しいよ」とマイクは言った。
ジョンには、彼の口調が傲慢に見えた。
マイクはこう続けた。"まあ、20人中19人が95％ということには同意してくれるよね？"
「はい」とフランクとジョンは答えた。
「20個のサンプルで不良品がなかった場合、95％の信頼性でロット内の不良品はゼロということになります。もし20のサンプルに1つでも欠陥があれば、そのロットの欠陥はゼロとは言えません」とマイクは言う。
「マイク、2000個のビーズのうち1個の欠陥(赤いビーズ)を撮った画像を見てください」(図1参照)。(容器の左側にある20個のビーズを選んだとしたら、不良率が0.0005（2000個に1個）であることをどうやって知ることができますか」とジョンが尋ねた。
図1.赤いビーズは2000個中1個の「欠陥」。
長い沈黙が続いた。
「マイク......君の答えは？
まだ返事はない。
「欠陥ゼロを保証する唯一の方法は、すべてのサンプルを評価することです」とジョンは言う。
「あの写真と問題を混同しているだけだ」とマイクは吐き捨てた。
「とフランクが言った。
「アイビーリーグの連中はみんな同じだ。私が正しいことは、どんな間抜けでもわかるのに、君は、おちゃらけた言葉で問題を混乱させている」とマイクは叫んだ。
そして、フランクはマイクのZoomフィードをカットした。
「言いたいことはわかるよ。「でも、それを裏付ける数学を教えてくれないか？
「もちろん」とジョンは答えた。
"不良率がゼロではなく、非常に低い場合、例えば非常に大きな母集団で1万個に1個の場合を考えてみよう。最初のサンプルを選ぶとき、そのサンプルが良品である可能性は0.9999 (10,000-1)/10000) です。2番目のサンプルが良いものである可能性は何パーセントですか？ジョンは尋ねた。
"ああ、えーと...0.9999だね？"フランクが答えた。
「しかし、その両方の可能性は？ジョンは尋ねた。
「待って、数年前に受けた統計学の授業で覚えたんだけど、0.9999×0.9999なんだ」フランクが勝ち誇ったように言った。
"そして、3回連続で良い可能性は？"ジョンは再び尋ねた。
「0.99993」とフランクは自信たっぷりに答えた。
「では、0.9999n=0.05となるように、n回サンプリングするとしましょう。これは何を意味するのですか？
「うーん、......」とフランクは答えた。
「不良率が10,000分の1だとしたら、どれくらいの確率で起こるんですか？ジョンは尋ねた。
"待てよ、なるほど、0.05か5％の確率でしか起こらないのか"フランクは興奮気味に答えた。
「では、不良率がわからないとして、n個サンプリングして不良品がなかったら、何が言えるんだろう？
フランクは困り果てた。
「考えておいてくれ。もう午後6時だ。それと、nが何倍か計算してみてくれ。午前10時にズームしよう」とジョンは提案した。
あっという間に時間は過ぎ、ジョンとフランクは再びズームインした。
「ジョン、君に殺されそうになったよ。眠るのに苦労したけど、統計の本を見直したり、Youtubingを見たりして、わかったよ」とフランクが話し始めた。
「もし欠陥率がわからず、少なくとも10,000分の1であるかどうかを確かめたい場合、0.9999n＝0.05となるようにn個のサンプリングを行えば、0.95（1-0.05）の信頼度で欠陥率が10,000分の1以下であると言うことができる」とフランクは勝ち誇ったように言った。
「その通り」とジョンは叫んだ。
でも、"N "って何？とジョンは尋ねた。
「そこで行き詰まっているんだ。0.9999n= 0.05という方程式があるのですが、nが解けないんです」とフランクは落ち込んだ。
「ヒント：対数」とジョンは答えた。
「それだ、やったぞ」とフランクは意気揚々と言った。
フランクは電卓で数分間計算し、図2の解答を導き出した。
図2.欠陥の計算
「つまり、欠陥率が1万個に1個以下であることを95％の信頼度で示すには、3万個近くの部品をサンプリングして、欠陥がないことを確認しなければなりません」とフランクは叫んだ。
「方程式を見れば、もし欠陥率がゼロであれば、0.9999は1に置き換えられ、1の対数は0なので、無限のサンプルが必要になることがわかります」とジョンは言う。
「だから、欠陥ゼロを示す唯一の方法は、すべてのコンポーネントをサンプリングすることだ」とフランクは言う。
「そうだね！」とジョンは答えた。
乾杯
ロン博士
