여러분,
아이비 대학교의 한 대학원생을 소개합니다...
존 포스터는 매우 운이 좋았다고 느꼈습니다. 그는 학부 학위를 우등으로 취득했을 뿐만 아니라 유명한 패티 콜먼 교수의 지도 아래 아이비 대학교에서 대학원생으로 공부하고 있었기 때문입니다. 이런 즐거운 생각을 하며 고급 통계학 숙제를 하고 있을 때 콜먼 교수가 그의 책상 앞으로 걸어왔습니다.
"존, 자네에게 작은 과제가 하나 있어. ACME의 CEO인 마이크 매디건은 ACME가 구매하는 다이오드 물량에서 무결점을 보장하는 공급업체가 있는데, ACME가 물량을 받으면 약 1% 이상의 결함률이 발견된다고 합니다. ACME의 품질 엔지니어인 프랭크 이아노네에게 연락해서 어떻게 도와줄 수 있을까요?" 패티가 물었습니다. "지난 학기에 들었던 통계 입문 수업에서 이 주제를 다루었습니다." 그녀가 말을 마쳤습니다.
"네, 기꺼이 도와드리겠습니다." 존이 대답했습니다.
패티는 " SMTA의 팬팩에 처음 가는데 많은 일이 있을 것 같아요."라며 고마움을 표했습니다.
"존은 "와, 압박이 심하네요."라고 생각했습니다.
존은 프랭크에게 연락하여 공급업체의 영업 엔지니어인 마이크 글래드스톤이 10,000개의 부품 로트에서 20개의 다이오드를 샘플링한다고 말했다는 사실을 알게 되었습니다. 20개의 샘플에서 결함이 발견되지 않았다면 20개 중 19개가 95%이고 결함이 발견되지 않았으므로 95%의 신뢰도로 결함이 0개라고 말할 수 있다고 주장합니다.
"존은 "이럴 수가 없다"고 생각했습니다.
그는 고민 끝에 마침내 콜먼 교수가 언급한 수업의 노트를 보고 자신이 확신하는 해답을 떠올렸습니다. 그는 Frank에게 연락하여 이 문제를 논의하기 위해 Mike와 Zoom 통화를 설정했습니다.
소개가 끝난 후 Zoom 통화에서 Frank는 마이크에게 로트의 결함이 없는지 어떻게 판단하는지 물었습니다.
"여러분께 설명할 기회를 갖게 되어 기쁩니다."라고 Mike는 말했습니다.
존은 그의 어투가 거만하다고 생각했습니다.
Mike는 계속해서 "20개 중 19개가 95%라는 데 동의하시겠죠?"라고 말했습니다.
프랭크와 존은 "네."라고 대답했습니다.
"따라서 20개의 샘플에서 결함이 발견되지 않으면 95%의 신뢰도로 로트에서 결함이 0개라고 할 수 있습니다. 20개의 샘플에서 결함이 하나라도 발견되면 로트에서 결함이 전혀 없다고 주장할 수 없습니다."라고 Mike는 말합니다.
"마이크, 제가 2000개의 비드 중 하나의 결함(빨간색 비드)을 찍은 이미지를 보세요." (그림 1 참조) "컨테이너 왼쪽에 있는 20개의 비드를 선택하면 불량률이 0.0005(2000개 중 1개)라는 것을 어떻게 알 수 있을까요?" John이 물었습니다.
그림 1. 빨간색 구슬은 2000개 중 하나의 '결함'입니다.
긴 침묵이 흘렀습니다.
"마이크, 대답이 뭐예요?" 프랭크가 물었습니다.
여전히 답변이 없습니다.
"결함 제로를 보장할 수 있는 유일한 방법은 모든 샘플을 평가하는 것뿐입니다."라고 John은 말합니다.
"저 사진으로 문제를 혼동하고 있군요." 마이크가 뱉어냈습니다.
"제게는 아주 분명해 보입니다."라고 Frank는 말했습니다.
"아이비리그 출신들은 다 똑같아요. 내 말이 맞다는 걸 누구라도 알 수 있는데 당신은 문제를 엉뚱한 소리로 혼동하고 있어요." 마이크가 소리쳤습니다.
욕설이 이어졌고 Frank는 Mike의 Zoom 피드를 차단했습니다.
"무슨 말인지 알겠어요, 존." 프랭크가 말했습니다. "하지만 그걸 뒷받침할 수 있는 수치를 제시해 주시겠어요?"
"물론이죠." 존이 대답했습니다.
"결함률이 0은 아니지만 매우 낮은 경우, 예를 들어 매우 많은 인구에서 10,000명 중 1명인 경우를 생각해 봅시다. 첫 번째 샘플을 선택하면 그 샘플이 양호할 확률은 0.9999 (10,000-1)/10000)입니다. 두 번째 표본이 양호할 확률은 얼마나 될까요?" 존이 물었습니다.
"아, 어디 보자... 0.9999 맞지?" 프랭크가 대답했습니다.
"하지만 두 사건의 가능성은 얼마나 될까요?" 존이 물었습니다.
"잠깐만요, 몇 년 전에 들었던 통계 수업에서 0.9999 x 0.9999라는 수식이 기억나요." Frank가 의기양양하게 말했습니다.
"세 번 연속으로 성공할 확률은 얼마나 될까요?" 존이 다시 물었습니다.
"0.99993입니다." 프랭크가 자신 있게 대답했습니다.
"그럼 샘플을 n번 샘플링해서 0.9999n = 0.05가 되었다고 가정해 봅시다. 이것은 우리에게 무엇을 말해줄까요?" John이 물었습니다.
"흠, .........." 프랭크가 대답했습니다.
"불량률이 10,000분의 1이라면 이런 일이 일어날 확률이 얼마나 될까요?" 존이 물었습니다.
"잠깐만요, 그런 일은 0.05~5%밖에 일어나지 않는다고요?" 프랭크는 흥분하며 대답했습니다.
"그럼 불량률을 모른다고 가정했을 때, 샘플을 N개 채취했는데 불량률이 없다면 뭐라고 말할 수 있을까요?" John이 물었습니다.
프랭크는 당황했습니다.
"생각 좀 해보고 내일 다시 오죠. 벌써 오후 6시가 다 되어가네요. 아, 그리고 n이 무엇인지 계산할 수 있는지 보자고요. 오전 10시에 Zoom으로 합시다."라고 John이 제안했습니다.
시간은 순식간에 흘러갔고 존과 프랭크는 다시 Zoom을 사용했습니다.
"존, 당신 때문에 잠을 못 이룰 뻔했는데 통계 장부를 검토하고 유튜브를 해보니 알 것 같아요."라고 프랭크가 말문을 열었습니다.
"만약 우리가 불량률을 모르고 적어도 10,000개 중 1개 정도인지 확인하고 싶고 0.9999n = 0.05가 되도록 n을 샘플링한다면 0.95(1 - 0.05)의 신뢰도로 불량률이 10,000개 중 1개 이하라고 말할 수 있습니다." Frank가 힘차게 말했습니다.
"맞습니다." 존이 외쳤습니다.
"하지만 n은 무엇인가요?" 존이 물었습니다.
"바로 그 지점에서 제가 막혔습니다. 0.9999n= 0.05라는 방정식이 있지만 n을 풀 수 없습니다."라고 Frank는 낙담한 표정으로 말했습니다.
"힌트: 로그"라고 John이 대답했습니다.
"그거예요, 알았어요." 프랭크가 열정적으로 말했습니다.
Frank는 계산기로 몇 분간 고민한 끝에 그림 2와 같은 해결책을 생각해냈습니다.
그림 2. 결함 계산
"따라서 불량률이 10,000개 중 1개 이하라는 것을 95%의 신뢰도로 보여주려면 거의 3만 개의 부품을 샘플링하고 결함을 발견하지 못해야 합니다."라고 Frank는 외쳤습니다.
"방정식을 보면 불량률이 0이라면 0.9999는 1로 대체되고 1의 로그는 0이므로 무한한 샘플이 필요하다는 것을 알 수 있습니다."라고 John은 말합니다.
"따라서 결함이 0이 되는 유일한 방법은 모든 구성 요소를 샘플링하는 것뿐입니다."라고 Frank는 말합니다.
"맞아요!" 존이 대답했습니다.
건배,
론 박사
