Gente,
Diamo un'occhiata a uno studente laureato della Ivy University...
John Foster si sentiva molto fortunato. Non solo si era laureato summa cum laude, ma ora era uno studente laureato alla Ivy University sotto la tutela della famosa professoressa Patty Coleman. Mentre contemplava questi piacevoli pensieri, stava lavorando ai suoi compiti di statistica avanzata quando la professoressa Coleman si avvicinò alla sua scrivania.
"Ehi, John, ho un piccolo compito per te. Mike Madigan, amministratore delegato di ACME, ha un fornitore che garantisce zero difetti nei lotti di diodi che ACME acquista, ma quando ACME riceve i lotti trova un tasso di difetti di circa l'1% o più. Può contattare l'ingegnere della qualità di ACME, Frank Ianonne, per vedere come può aiutarci?". Chiese Patty. "Abbiamo affrontato questo argomento nel corso di introduzione alle statistiche che hai seguito lo scorso trimestre", ha concluso.
"Certo, sono felice di aiutare", rispose John.
"Grazie, vado al PanPac di SMTA per la prima volta e ho molte cose da fare", ha detto Patty con gratitudine.
"Wow", pensò John, "la pressione è alta".
John ha contattato Frank e ha appreso che l'ingegnere di vendita del fornitore, Mike Gladstone, ha detto che campiona 20 diodi da ogni lotto di 10.000 pezzi. Se non trovano difetti nel campione di 20, sostengono di poter affermare che ci sono 0 difetti con un'affidabilità del 95%, poiché 19 su 20 è il 95% e non hanno trovato difetti.
"Accidenti", pensò John, "non può essere vero".
Ci pensò su e alla fine trovò quella che riteneva essere la risposta giusta, soprattutto dopo aver esaminato gli appunti della lezione menzionata dal professor Coleman. Contattò Frank e fissarono una telefonata Zoom con Mike per discutere del problema.
Durante la telefonata Zoom dopo le presentazioni, Frank ha chiesto a Mike come fanno a stabilire che un lotto ha zero difetti.
"Sono felice di avere l'opportunità di spiegarvi questo", ha detto Mike.
A John sembrò che il suo tono fosse arrogante.
Mike continuò: "Beh, sarete d'accordo che 19 su 20 è il 95%, giusto?".
"Sì", risposero Frank e John.
"Quindi, se non otteniamo nessun difetto in 20 campioni, abbiamo zero difetti nel lotto con un'affidabilità del 95%. Se avessimo un solo difetto nei 20 campioni, non potremmo affermare di avere zero difetti nel lotto", ha detto Mike.
"Mike, guarda l'immagine che ho scattato di un difetto (una perlina rossa) su 2000 perline". (Se selezionassi 20 perline sul lato sinistro del contenitore, come farei a sapere che il tasso di difetti è 0,0005 (1 su 2000)?", chiede John.
Figura 1. La perlina rossa rappresenta un "difetto" su 2000.
C'è stato un lungo silenzio.
"Mike, qual è la tua risposta?", chiese Frank.
Ancora nessuna risposta.
"La risposta è che l'unico modo per garantire l'assenza di difetti è valutare tutti i campioni", afferma John.
"Stai solo confondendo il problema con quella foto", sputò Mike.
"Mi sembra abbastanza chiaro", disse Frank.
"Voi della Ivy League siete tutti uguali. Confondete la questione con delle sciocchezze, quando qualsiasi idiota può capire che ho ragione", urlò Mike.
Seguirono alcune bestemmie e Frank tagliò la trasmissione Zoom di Mike.
"Capisco il tuo punto di vista, John", disse Frank. "Ma puoi darmi qualche dato matematico a sostegno?".
"Certo", rispose John.
"Consideriamo un caso in cui il tasso di difettosità non è zero, ma piuttosto basso, ad esempio 1 su 10.000 in una popolazione molto ampia. Quando selezioniamo il primo campione, la probabilità che sia buono è 0,9999 (10.000-1)/10000). Qual è la probabilità che il secondo campione sia buono?". Chiese John.
"Ah, vediamo... 0,9999, giusto?". Rispose Frank.
"Ma qual è la probabilità di entrambi gli eventi?". Chiese John.
"Aspetta, mi ricordo che da un corso di statistica che ho seguito qualche anno fa, è 0,9999 x 0,9999", disse Frank trionfante.
"E la probabilità che tre di fila siano buone?". John chiese di nuovo.
"0,99993", rispose Frank con sicurezza.
"Supponiamo di campionare un numero di volte tale, chiamiamolo n volte, che 0,9999n = 0,05. Cosa ci dice questo?" chiese John.
"Hmm, .........", rispose Frank.
"Quanto è probabile che questo accada se il tasso di difettosità è di 1 su 10.000?". Chiese John.
"Aspetti, capisco, accadrebbe solo lo 0,05 o il 5% delle volte". Frank rispose entusiasta.
"Quindi, supponendo di non conoscere il tasso di difettosità, cosa potremmo dire se campionassimo n e non ottenessimo alcun difetto?", ha chiesto John.
Frank era perplesso.
"Facciamo così, pensaci e torniamo domani. Sono già quasi le 18. Oh, e vedi se riesci a calcolare quanto è N. Facciamo lo Zoom alle 10", propose John.
Il tempo è volato velocemente e John e Frank erano di nuovo in Zoom.
"John, mi hai quasi ucciso, ho avuto problemi a dormire, ma credo di avercela fatta dopo aver rivisto il mio libro di statistiche e aver fatto un po' di Youtubing", ha esordito Frank.
"Beh, se non conoscessimo il tasso di difettosità e volessimo vedere se è almeno pari a 1 su 10.000 e campionassimo n in modo tale che 0,9999n = 0,05, potremmo affermare con una confidenza di 0,95 (1 - 0,05) che il tasso di difettosità è pari o inferiore a 1 su 10.000", ha detto trionfalmente Frank.
"Esattamente", esclamò John.
"Ma che cos'è n?" Chiese John.
"È qui che mi sono bloccato. Abbiamo l'equazione 0,9999n= 0,05, ma non riesco a risolvere per n", disse Frank sconsolato.
"Suggerimento: logaritmi", rispose John.
"Ecco, ho capito", disse Frank con entusiasmo.
Frank lavorò per qualche minuto con una calcolatrice e giunse alla soluzione della Figura 2.
Figura 2. Il calcolo dei difetti
"Quindi, per dimostrare con un'affidabilità del 95% che il tasso di difettosità è pari o inferiore a 1 su 10.000, dovremmo campionare quasi 30.000 componenti e non trovare alcun difetto", ha esclamato Frank.
"Osservando l'equazione, si può notare che se il tasso di difettosità fosse pari a zero, 0,9999 sarebbe sostituito da 1 e il log di 1 è 0, quindi sarebbe necessario un campione infinito", ha detto John.
"Quindi, l'unico modo per mostrare 0 difetti è campionare tutti i componenti", ha detto Frank.
"Giusto!", rispose John.
Salute,
Dr. Ron
