Amigos,
Veamos a un estudiante graduado de la Universidad Ivy...
John Foster se sentía muy afortunado. No sólo había obtenido su licenciatura summa cum laude, sino que ahora era estudiante de posgrado en la Ivy University bajo la tutela de la famosa profesora Patty Coleman. Mientras contemplaba estos agradables pensamientos, estaba trabajando en sus deberes de estadística avanzada cuando la profesora Coleman se acercó a su mesa.
"Oye, John, tengo un pequeño encargo para ti. Mike Madigan, director general de ACME, tiene un proveedor que garantiza cero defectos en los lotes de diodos que compra ACME, pero cuando ACME recibe los lotes encuentra una tasa de defectos de alrededor del 1% o más. ¿Puede ponerse en contacto con el ingeniero de calidad de ACME, Frank Ianonne, para ver cómo puede ayudar?". preguntó Patty. "Tratamos este tema en la clase de introducción a la estadística que recibiste el curso pasado", terminó.
"Claro, encantado de ayudar", respondió John.
"Gracias, voy a la PanPac de SMTA por primera vez y tengo muchas cosas que hacer allí", dijo Patty agradecida.
"Vaya", pensó John, "la presión ha aumentado".
John se pone en contacto con Frank y se entera de que el ingeniero de ventas del proveedor, Mike Gladstone, dice que toman una muestra de 20 diodos de cada lote de 10.000 piezas. Si no encuentran ningún defecto en la muestra de 20, afirman que pueden decir que hay 0 defectos con un 95% de confianza, ya que 19 de 20 es el 95% y no encontraron ningún defecto.
"Vaya", pensó John, "esto no puede estar bien".
Pensó en ello y finalmente se le ocurrió lo que creía que era la respuesta, sobre todo después de mirar sus apuntes de la clase que el profesor Coleman mencionó. Se puso en contacto con Frank y concertaron una reunión de Zoom con Mike para tratar el tema.
En la llamada de Zoom tras las presentaciones, Frank preguntó a Mike cómo determinan que un lote tiene cero defectos.
"Me alegro de tener la oportunidad de explicarles esto", dijo Mike.
A John le pareció que su tono era arrogante.
Mike continuó: "Bueno, estarás de acuerdo en que 19 de 20 es el 95%, ¿verdad?".
"Sí", respondieron Frank y John.
"Por tanto, si no obtenemos ningún defecto en 20 muestras, tenemos cero defectos en el lote con un 95% de confianza. Si tuviéramos un defecto en las 20 muestras, no podríamos afirmar que no tenemos cero defectos en el lote", dijo Mike.
"Mike, mira la imagen que tomé de un defecto (una cuenta roja) entre 2000 cuentas". (Véase la figura 1.) "Si seleccionara 20 cuentas en el lado izquierdo del contenedor, ¿cómo sabría que la tasa de defectos es de 0,0005 (1 en 2000)?", preguntó John.
Figura 1. La cuenta roja es un "defecto" de 2000.
Se hizo un largo silencio.
"Mike, ¿cuál es tu respuesta?", preguntó Frank.
Aún no hay respuesta.
"La respuesta es que la única forma de garantizar cero defectos es evaluar todas las muestras", afirma John.
"Estás confundiendo el tema con esa foto de ahí", espetó Mike.
"A mí me parece bastante claro", dijo Frank.
"Los de la Ivy League sois todos iguales. Confundís la cuestión con galimatías cuando cualquier bobo puede ver que tengo razón", gritó Mike.
A continuación se profirieron algunas palabrotas y Frank cortó la señal del Zoom de Mike.
"Entiendo lo que dices, John", dijo Frank. "Pero, ¿puedes darme algunas matemáticas que lo respalden?"
"Claro", respondió John.
"Consideremos un caso en el que la tasa de defectos no es cero, sino bastante baja, digamos 1 de cada 10.000 en una población muy grande. Cuando seleccionamos la primera muestra, la probabilidad de que sea buena es de 0,9999 (10.000-1)/10000). ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea buena?". pregunta John.
"Ah, veamos... 0.9999, ¿verdad?" Frank respondió.
"Pero, ¿cuál es la probabilidad de ambos sucesos?". preguntó John.
"Espera, lo recuerdo de una clase de estadística que tomé hace unos años, es 0,9999 x 0,9999", dijo Frank triunfante.
"¿Y la probabilidad de que tres seguidas sean buenas?" John volvió a preguntar.
"0,99993", respondió Frank con seguridad.
"Digamos que tomamos la muestra tantas veces, llamémoslas n veces, que 0,9999n = 0,05. ¿Qué nos dice esto? ¿Qué nos dice esto?", preguntó John.
"Hmm, .........", respondió Frank.
"Bueno, ¿qué probabilidad hay de que esto ocurra si la tasa de defectos es de 1 entre 10.000?". preguntó John.
"Espera, ya veo, sólo ocurriría un 0,05 o 5% de las veces". Frank respondió entusiasmado.
"Supongamos que no conociéramos la tasa de defectos, ¿qué podríamos decir si tomáramos una muestra de n y no obtuviéramos defectos?", preguntó John.
Frank se quedó perplejo.
"Te diré algo, piénsalo y volveremos mañana. Ya son casi las 6 de la tarde. Ah, y a ver si eres capaz de calcular cuánto es n. Acerquémonos a las 10 de la mañana", propuso John.
El tiempo pasó volando y John y Frank volvieron a hacer zoom.
"John, casi me matas, tuve problemas para dormir, pero creo que lo tengo después de revisar mi libro de estadísticas y hacer un poco de Youtubing", comenzó Frank.
"Bueno, si no conociéramos la tasa de defectos y quisiéramos ver si es al menos tan buena como 1 entre 10.000 y tomáramos una muestra n tal que 0,9999n = 0,05, podríamos decir con un 0,95 (1 - 0,05) de confianza que la tasa de defectos es de 1 entre 10.000 o menos", dijo Frank triunfalmente.
"Precisamente", exclamó John.
"¿Pero qué es n?" preguntó John.
"Ahí es donde estoy atascado. Tenemos la ecuación 0,9999n= 0,05, pero no puedo resolver n", dice Frank abatido.
"Pista: Logaritmos", respondió John.
"Eso es, lo tengo", dijo Frank con entusiasmo.
Frank trabajó durante unos minutos con una calculadora y llegó a la solución de la figura 2.
Figura 2. Cálculo de defectos
"Así que, para demostrar con un 95% de confianza que la tasa de defectos es de 1 entre 10.000 o menos, tendríamos que tomar muestras de casi 30.000 componentes y no encontrar ningún defecto", exclamó Frank.
"Si se observa la ecuación, se puede ver que si la tasa de defectos fuera cero, 0,9999 se sustituiría por 1 y el logaritmo de 1 es 0, por lo que se necesitaría una muestra infinita", explica John.
"Por tanto, la única forma de mostrar 0 defectos es tomar muestras de todos los componentes", afirma Frank.
"¡Correcto!", respondió John.
Salud,
Dr. Ron
