朋友們
讓我們來看看常春藤大學的一位研究生……
約翰·福斯特覺得自己非常幸運。他不僅以最高榮譽（summa cum laude）取得學士學位，如今更成為常春藤大學的研究生，並在著名的派蒂·科爾曼教授指導下研讀。正當他沉浸於這些愉悅的思緒中，一邊做著高階統計學的作業時，科爾曼教授走到了他的課桌旁。
「嘿，約翰，我有個小任務要交給你。 ACME 的執行長麥克·馬迪根有一家供應商，聲稱 ACME 採購的二極體批次保證零瑕疵，但當 ACME 收到這些批次時，卻發現瑕疵率約為 1% 或更高。你能聯絡 ACME 的品質工程師法蘭克·伊安諾內，看看你能提供什麼協助嗎？」派蒂問道。「我們在上學期你修過的統計學入門課中，已經講過這個主題了，」她補充道。
「當然，很樂意幫忙，」約翰回答道。
「謝謝，這是我第一次參加SMTA 的 PanPac活動，那邊有好多事情要忙，」派蒂感激地說。
「哇，」約翰心想，「壓力好大啊。」
約翰聯絡了法蘭克，並得知該供應商的銷售工程師麥克·格拉德斯通表示，他們會從每批 10,000 件的產品中抽取 20 顆二極體進行檢測。如果在這 20 顆樣品中未發現任何瑕疵，他們聲稱可以以 95% 的置信度斷言該批次瑕疵為 0，因為 20 顆中有 19 顆無瑕疵的機率即為 95%，而他們確實未發現任何瑕疵。
「天啊，」約翰心想，「這肯定不對。」
他思考了一番，最後想出了他深信不疑的答案——尤其是翻閱了科爾曼教授提到的那堂課的筆記之後。他聯絡了法蘭克，兩人便安排了一場與麥克的 Zoom 視訊會議，以討論這個問題。
在 Zoom 視訊會議中，彼此自我介紹完畢後，法蘭克問麥克，他們是如何判定某批次產品完全沒有瑕疵的。
「很高興能有這個機會向各位解釋這件事，」麥克說道。
約翰覺得自己的語氣似乎有些傲慢。
麥克接著說：「嗯，你應該會同意，20 裡有 19 就是 95%，對吧？」
「是的，」法蘭克和約翰回答道。
「所以，如果我們在 20 個樣本中沒有發現任何瑕疵，那麼以 95% 的置信度來說，該批次就屬於零瑕疵。如果這 20 個樣本中出現一個瑕疵，我們就不能聲稱該批次是零瑕疵，」麥克說道。
「麥克，看看我拍的這張照片，這是從 2000 顆珠子中挑出的一顆瑕疵品（一顆紅珠）。」（見圖 1。）「如果我從容器左側挑出 20 顆珠子，該如何得知瑕疵率是 0.0005（2000 顆中有 1 顆）呢？」約翰問道。
圖 1. 這顆紅色珠子是 2000 顆中的其中一個「瑕疵」。
現場陷入了長久的沉默。
「麥克，你的答案是什麼？」法蘭克問道。
還是沒有回覆。
「答案是，要確保零瑕疵，唯一的方法就是評估所有樣本，」約翰說道。
「你拿那張照片來，只是在混淆視聽罷了，」麥克咆哮道。
「在我看來，這似乎很清楚，」法蘭克說。
「你們這些常春藤盟校的人都一樣。明明任何笨蛋都能看出我是對的，你們卻用一堆玄乎其玄的廢話來混淆視聽，」麥克大吼道。
隨後傳來幾句髒話，法蘭克便切斷了麥克的 Zoom 畫面。
「我明白你的意思了，約翰，」法蘭克說。「不過，你能提供一些數學依據來支持這個說法嗎？」
「當然，」約翰回答道。
「讓我們考慮一種情況：缺陷率並非為零，但相當低，假設在極大的總體中，每 10,000 個中有 1 個有缺陷。當我們選取第一個樣本時，它為合格品的機率是 0.9999（(10,000 - 1) / 10,000）。那麼，第二個樣本為合格品的機率是多少？」約翰問道。
「啊，讓我想想……0.9999，對吧？」法蘭克回答道。
「但這兩件事同時發生的機率有多大？」約翰問道。
「等等，我記得幾年前上過一門統計學課程，答案是 0.9999 × 0.9999，」法蘭克得意洋洋地說。
「那連續三場都打得好的機率有多高？」約翰又問道。
「0.99993，」法蘭克自信地回答道。
「假設我們進行了這麼多次抽樣——就稱之為 n 次吧——使得 0.9999n= 0.05。這告訴我們什麼？」約翰問道。
「嗯，……」，法蘭克回答道。
「那麼，如果缺陷率是萬分之一，這種情況發生的機率有多大呢？」約翰問道。
「等等，我明白了，這種情況只會發生在 0.05 或 5% 的情況下。」法蘭克興奮地回應道。
「那麼，假設我們不知道缺陷率，如果我們抽樣 n 個樣本卻沒有發現任何缺陷，我們能得出什麼結論呢？」約翰問道。
法蘭克一籌莫展。
「這樣吧，你先想想，我們明天再討論。現在已經快晚上6點了。對了，試著算算 n 的值是多少。我們明天早上10點用 Zoom 開會吧，」約翰提議道。
時間過得飛快，約翰和法蘭克又開始用 Zoom 開會了。
「約翰，你差點嚇死我了，我這幾天都睡不好，不過我翻了翻我的數據手冊，又在 YouTube 上查了查，現在應該搞清楚了，」法蘭克開口說道。
「嗯，如果我們不知道缺陷率，卻想確認它是否至少等於萬分之一，並且抽樣數 n 設定為 0.9999n= 0.05，那麼我們就能以 0.95（1 – 0.05）的置信度斷言，缺陷率不超過萬分之一，」法蘭克得意洋洋地說道。
「正是如此，」約翰驚呼道。
「但 n 是什麼？」約翰問道。
「我就是卡在這裏了。我們有這個方程式 0.9999n = 0.05，但我無法求出 n 的值，」法蘭克沮喪地說。
「提示：對數，」約翰回答道。
「就是這樣，我懂了，」法蘭克興致勃勃地說。
法蘭克用計算機計算了幾分鐘，得出了圖 2 所示的解。
圖 2. 缺陷計算
「所以，若要以 95% 的置信度證明缺陷率為 1 萬分之 1 或更低，我們就必須抽樣近 3 萬個零件，且其中不能發現任何缺陷，」法蘭克驚呼道。
「從這個方程式可以看出，如果缺陷率為零，0.9999 就會被 1 取代，而 1 的對數是 0，因此你需要無窮大的樣本量，」約翰說道。
「所以，要證明零瑕疵的唯一方法，就是對所有零組件進行抽樣檢查，」法蘭克說道。
「沒錯！」約翰回答道。
乾杯
羅恩博士
