Leute,
Werfen wir einen Blick auf einen Absolventen der Ivy University...
John Foster konnte sich glücklich schätzen. Er hatte nicht nur sein Grundstudium mit summa cum laude abgeschlossen, sondern war nun auch Doktorand an der Ivy University unter der Leitung der berühmten Professorin Patty Coleman. Während er diesen angenehmen Gedanken nachhing, arbeitete er gerade an seinen Hausaufgaben in Statistik für Fortgeschrittene, als Professor Coleman an seinen Schreibtisch trat.
"Hey, John, ich habe eine kleine Aufgabe für dich. Mike Madigan, CEO von ACME, hat einen Lieferanten, der null Fehler in den Diodenpartien garantiert, die ACME kauft, doch wenn ACME die Partien erhält, stellt er eine Fehlerquote von etwa 1 % oder mehr fest. Können Sie sich mit dem Qualitätsingenieur von ACME, Frank Ianonne, in Verbindung setzen, um zu sehen, wie Sie helfen können?" fragte Patty. "Wir haben dieses Thema im Einführungskurs Statistik behandelt, den Sie letztes Semester belegt haben", sagte sie abschließend.
"Sicher, ich helfe gerne", antwortete John.
"Danke, ich gehe zum ersten Mal zur SMTA's PanPac und habe dort eine Menge zu tun", sagte Patty dankbar.
"Wow", dachte John, "der Druck ist groß".
John setzte sich mit Frank in Verbindung und erfuhr, dass der Vertriebsingenieur des Anbieters, Mike Gladstone, sagte, dass sie aus jedem Los von 10.000 Teilen 20 Dioden stichprobenartig prüfen. Wenn sie in der 20er-Stichprobe keine Defekte finden, können sie mit 95%iger Sicherheit sagen, dass es keine Defekte gibt, da 19 von 20 95% sind und sie keine Defekte gefunden haben.
"Igitt", dachte John, "das kann nicht stimmen."
Er dachte darüber nach und kam schließlich auf eine Antwort, die er für richtig hielt, vor allem nachdem er sich seine Notizen aus dem von Professor Coleman erwähnten Kurs angesehen hatte. Er setzte sich mit Frank in Verbindung, und sie vereinbarten ein Gespräch zwischen Zoom und Mike, um das Problem zu besprechen.
Beim Zoom-Gespräch nach der Vorstellung fragte Frank Mike, wie sie feststellen, dass eine Partie keine Mängel aufweist.
"Ich bin froh, dass ich die Gelegenheit habe, euch das zu erklären", sagte Mike.
Sein Ton schien John arrogant zu sein.
Mike fuhr fort: "Nun, Sie werden mir doch zustimmen, dass 19 von 20 95% sind, oder?"
"Ja", antworteten Frank und John.
"Wenn wir also bei 20 Proben keine Fehler finden, haben wir mit 95-prozentiger Sicherheit null Fehler in der Partie. Hätten wir einen Fehler in den 20 Proben, könnten wir nicht behaupten, dass die Charge fehlerfrei ist", so Mike.
"Mike, sieh dir das Bild an, das ich von einem Fehler (einer roten Perle) von 2000 Perlen gemacht habe. (Siehe Abbildung 1.) "Wenn ich 20 Perlen auf der linken Seite des Behälters auswähle, woher weiß ich dann, dass die Fehlerquote 0,0005 (1 von 2000) beträgt?", fragte John.
Abbildung 1. Die rote Perle ist ein "Fehler" von 2000.
Es herrschte lange Stille.
"Mike, wie lautet deine Antwort?", fragte Frank.
Immer noch keine Antwort.
"Die Antwort ist, dass die einzige Möglichkeit, Nullfehler zu gewährleisten, darin besteht, alle Proben auszuwerten", so John.
"Du verwechselst das Thema mit diesem Foto", spuckte Mike aus.
"Das scheint mir ganz klar zu sein", sagte Frank.
"Ihr Efeuliga-Typen seid doch alle gleich. Ihr verwirrt das Thema mit Hokuspokus, obwohl jeder Dummkopf sehen kann, dass ich recht habe", schrie Mike.
Es folgten einige Beschimpfungen und Frank unterbrach Mikes Zoom-Feed.
"Ich verstehe, was Sie meinen, John", sagte Frank. "Aber kannst du mir ein paar Zahlen nennen, die das untermauern?"
"Sicher", antwortete John.
"Betrachten wir einen Fall, in dem die Fehlerquote nicht Null ist, sondern recht niedrig, etwa 1 zu 10.000 in einer sehr großen Population. Wenn wir die erste Stichprobe auswählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gut ist, 0,9999 (10.000-1)/10000). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Probe gut ist?" fragte John.
"Ah, mal sehen...0,9999, richtig?" antwortete Frank.
"Aber wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse?" fragte John.
"Warte, ich erinnere mich aus einem Statistikkurs, den ich vor ein paar Jahren belegt habe, es ist 0,9999 x 0,9999", sagte Frank triumphierend.
"Und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei hintereinander gut sind?" fragte John erneut.
"0,99993", antwortete Frank zuversichtlich.
"Nehmen wir an, wir nehmen so viele Stichproben, sagen wir n-mal, dass 0,9999n = 0,05. Was sagt uns das?", fragte John.
"Hmm, .........", antwortete Frank.
"Wie wahrscheinlich ist es, dass dies passiert, wenn die Fehlerquote bei 1 zu 10.000 liegt? fragte John.
"Moment, ich verstehe, das würde nur in 0,05 oder 5 % der Fälle passieren." antwortete Frank aufgeregt.
"Angenommen, wir kennen die Fehlerquote nicht, was könnten wir dann sagen, wenn wir eine Stichprobe von n machen und keine Fehler erhalten?", fragte John.
Frank war verblüfft.
"Ich sag dir was, denk darüber nach und wir kommen morgen wieder. Es ist schon fast 18 Uhr. Oh, und schau mal, ob du berechnen kannst, was n ist. Lass uns um 10 Uhr morgens zoomen", schlug John vor.
Die Zeit verging wie im Flug und John und Frank waren wieder am Zoomen.
"John, du hast mich fast umgebracht, ich konnte nicht schlafen, aber ich glaube, ich habe es, nachdem ich mein Statistikbuch durchgesehen und ein wenig Youtubing betrieben habe", begann Frank.
"Nun, wenn wir die Fehlerrate nicht kennen und sehen wollen, ob sie mindestens so gut wie 1 zu 10.000 ist, und wir eine Stichprobe von n so ziehen, dass 0,9999n = 0,05 ist, können wir mit 0,95 (1 - 0,05) Sicherheit sagen, dass die Fehlerrate 1 zu 10.000 oder weniger ist", sagt Frank triumphierend.
"Genau", rief John aus.
"Aber was ist n?" fragte John.
"Das ist der Punkt, an dem ich nicht weiterkomme. Wir haben die Gleichung 0,9999n= 0,05, aber ich kann nicht für n lösen", sagte Frank niedergeschlagen.
"Tipp: Logarithmen", antwortete John.
"Das ist es, ich hab's", sagte Frank enthusiastisch.
Frank arbeitete einige Minuten lang mit einem Taschenrechner und kam zu der in Abbildung 2 dargestellten Lösung.
Abbildung 2. Die Defektberechnung
"Um mit 95 %iger Sicherheit nachweisen zu können, dass die Fehlerquote bei 1 zu 10.000 oder weniger liegt, müssten wir also fast 30.000 Bauteile stichprobenartig prüfen und keine Fehler finden", erklärte Frank.
"Wenn man sich die Gleichung ansieht, sieht man, dass bei einer Fehlerquote von Null 0,9999 durch 1 ersetzt würde und der Logarithmus von 1 gleich 0 ist, so dass man eine unendliche Stichprobe bräuchte", so John.
"Die einzige Möglichkeit, 0 Defekte nachzuweisen, ist die Entnahme von Proben aller Komponenten", so Frank.
"Richtig!", antwortete John.
Zum Wohl,
Dr. Ron
