Mọi người ơi,
Hãy cùng tìm hiểu về một nghiên cứu sinh tại Đại học Ivy…
John Foster cảm thấy mình thật may mắn. Anh không chỉ tốt nghiệp đại học với danh hiệu summa cum laude mà giờ đây còn là nghiên cứu sinh tại Đại học Ivy dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Patty Coleman nổi tiếng. Trong lúc đang đắm chìm trong những suy nghĩ vui vẻ ấy, anh đang làm bài tập về nhà môn thống kê nâng cao thì Giáo sư Coleman bước đến bàn của anh.
“Này, John, tớ có một nhiệm vụ nhỏ dành cho cậu đây. Mike Madigan, Giám đốc Điều hành của ACME, có một nhà cung cấp cam kết không có lỗi nào trong các lô đi-ốt mà ACME mua, nhưng khi ACME nhận được các lô hàng đó, họ lại phát hiện tỷ lệ lỗi khoảng 1% hoặc cao hơn. Cậu có thể liên hệ với kỹ sư chất lượng của ACME, Frank Ianonne, để xem cậu có thể giúp gì không?” Patty hỏi. “Chúng ta đã thảo luận về chủ đề này trong lớp thống kê cơ bản mà cậu đã học kỳ trước,” cô kết luận.
“Tất nhiên, tôi rất sẵn lòng giúp,” John đáp.
“Cảm ơn, đây là lần đầu tiên tôi tham dự hội nghị PanPac của SMTA và có rất nhiều việc phải làm ở đó,” Patty nói với vẻ biết ơn.
“Chà,” John thầm nghĩ, “áp lực đang đè nặng.”
John đã liên hệ với Frank và được biết rằng kỹ sư bán hàng của nhà cung cấp, Mike Gladstone, cho biết họ lấy mẫu 20 đi-ốt từ mỗi lô hàng gồm 10.000 chiếc. Nếu không phát hiện lỗi nào trong mẫu 20 chiếc đó, họ khẳng định có thể kết luận rằng không có lỗi nào với độ tin cậy 95%, vì 19 trên 20 tương đương 95% và họ không phát hiện lỗi nào.
“Trời ơi,” John thầm nghĩ, “chắc chắn là sai rồi.”
Anh ấy suy nghĩ về vấn đề này và cuối cùng đã tìm ra câu trả lời mà anh ấy tin chắc là đúng, nhất là sau khi xem lại những ghi chép trong buổi học mà Giáo sư Coleman đã đề cập. Anh ấy liên hệ với Frank và cả hai đã sắp xếp một cuộc gọi Zoom với Mike để thảo luận về vấn đề này.
Trong cuộc gọi Zoom sau phần giới thiệu, Frank đã hỏi Mike rằng họ xác định như thế nào để biết một lô hàng không có lỗi.
“Tớ rất vui vì có cơ hội giải thích điều này cho các cậu,” Mike nói.
John cảm thấy giọng điệu của mình có vẻ kiêu ngạo.
Mike tiếp lời: “Chà, chắc cậu cũng đồng ý rằng 19 trên 20 là 95%, phải không?”
“Đúng vậy,” Frank và John đáp.
“Vậy nên, nếu chúng ta không phát hiện bất kỳ lỗi nào trong 20 mẫu, chúng ta có thể khẳng định lô hàng đó không có lỗi với độ tin cậy 95%. Nếu trong 20 mẫu đó có một lỗi, chúng ta không thể khẳng định lô hàng đó không có lỗi,” Mike nói.
“Mike, hãy xem bức ảnh tôi chụp về một sản phẩm lỗi (một hạt màu đỏ) trong số 2.000 hạt.” (Xem Hình 1.) “Nếu tôi chọn 20 hạt ở phía bên trái của thùng chứa, làm sao tôi biết được tỷ lệ lỗi là 0,0005 (1 trên 2.000)?” John hỏi.
Hình 1. Hạt màu đỏ là một trong 2.000 “lỗi”.
Một khoảng lặng kéo dài.
“Mike, câu trả lời của cậu là gì?” Frank hỏi.
Vẫn chưa có câu trả lời.
“Câu trả lời là cách duy nhất để đảm bảo không có lỗi nào là phải kiểm tra tất cả các mẫu,” John nói.
“Cậu chỉ đang làm rối vấn đề với cái bức ảnh đó thôi,” Mike buông ra.
“Với tôi thì điều đó có vẻ khá rõ ràng,” Frank nói.
“Bọn các người thuộc Ivy League thì ai cũng như ai cả. Các người làm rối vấn đề bằng mấy lời sáo rỗng trong khi bất kỳ thằng ngốc nào cũng thấy rõ là tớ đúng,” Mike hét lên.
Sau đó là một vài lời chửi thề, và Frank đã ngắt kết nối Zoom của Mike.
“Tớ hiểu ý cậu rồi, John,” Frank nói. “Nhưng cậu có thể đưa ra một vài phép tính để chứng minh điều đó không?”
“Được thôi,” John đáp.
“Hãy xem xét một trường hợp mà tỷ lệ lỗi không bằng không, nhưng khá thấp, chẳng hạn là 1 trên 10.000 trong một tổng thể rất lớn. Khi chúng ta chọn mẫu đầu tiên, xác suất mẫu đó là hàng tốt là 0,9999 ((10.000 - 1)/10.000). Xác suất mẫu thứ hai là hàng tốt là bao nhiêu?” John hỏi.
“À, để xem nào… 0,9999, phải không?” Frank trả lời.
“Nhưng xác suất xảy ra cả hai sự kiện đó là bao nhiêu?” John hỏi.
“Chờ đã, tớ nhớ trong một lớp thống kê mà tớ đã học cách đây vài năm, kết quả là 0,9999 × 0,9999,” Frank nói với vẻ đắc thắng.
“Và khả năng ba lần liên tiếp đều tốt là bao nhiêu?” John lại hỏi.
“0,99993,” Frank trả lời một cách tự tin.
“Vậy giả sử chúng ta lấy mẫu n lần – hãy gọi là n lần – sao cho 0,9999n = 0,05. Điều này cho chúng ta biết điều gì?” John hỏi.
“Hmm, ………,” Frank đáp.
“Vậy, nếu tỷ lệ lỗi là 1 trên 10.000 thì khả năng điều này xảy ra là bao nhiêu?” John hỏi.
“Chờ đã, tôi hiểu rồi, điều đó chỉ xảy ra 0,05 hoặc 5% số lần thôi.” Frank đáp lại với giọng hào hứng.
“Vậy, giả sử chúng ta không biết tỷ lệ lỗi, thì nếu chúng ta lấy mẫu n và không phát hiện ra lỗi nào, chúng ta có thể kết luận gì?” John hỏi.
Frank bối rối.
“Thế này nhé, cậu cứ suy nghĩ đi, rồi chúng ta sẽ nói lại vào ngày mai. Bây giờ đã gần 6 giờ chiều rồi. À, và thử tính xem n bằng bao nhiêu nhé. 10 giờ sáng mai chúng ta sẽ họp qua Zoom,” John đề nghị.
Thời gian trôi qua thật nhanh và John với Frank lại đang tham gia cuộc họp Zoom.
“John, cậu suýt nữa thì làm tớ chết mất, tớ đã mất ngủ cả đêm, nhưng tớ nghĩ là tớ đã hiểu ra sau khi xem lại cuốn sách thống kê và xem một số video trên YouTube,” Frank mở đầu.
“À, nếu chúng ta không biết tỷ lệ lỗi và muốn kiểm tra xem nó có ít nhất bằng 1 trên 10.000 hay không, và chúng ta lấy mẫu với kích thước n sao cho 0,9999n = 0,05, thì chúng ta có thể khẳng định với độ tin cậy 0,95 (1 – 0,05) rằng tỷ lệ lỗi là 1 trên 10.000 hoặc thấp hơn,” Frank nói với vẻ đắc thắng.
“Chính xác,” John reo lên.
“Nhưng ‘n’ là gì vậy?” John hỏi.
“Đó chính là chỗ tôi đang gặp khó khăn. Chúng ta có phương trình 0,9999n = 0,05, nhưng tôi không thể tìm được giá trị của n,” Frank nói với vẻ chán nản.
“Gợi ý: Lôgarit,” John đáp.
“Đúng rồi, tớ hiểu rồi,” Frank nói với giọng hào hứng.
Frank đã tính toán bằng máy tính trong vài phút và tìm ra đáp án như trong Hình 2.
Hình 2. Tính toán các khuyết tật
“Vậy nên, để chứng minh với độ tin cậy 95% rằng tỷ lệ lỗi là 1 trên 10.000 hoặc thấp hơn, chúng ta sẽ phải lấy mẫu gần 30.000 linh kiện và không phát hiện ra bất kỳ lỗi nào,” Frank thốt lên.
“Khi xem xét phương trình này, bạn có thể thấy rằng nếu tỷ lệ lỗi bằng không, thì 0,9999 sẽ được thay thế bằng 1, và logarit của 1 là 0, do đó bạn sẽ cần một mẫu vô hạn,” John nói.
“Vậy nên, cách duy nhất để chứng minh không có lỗi nào là phải lấy mẫu tất cả các linh kiện,” Frank nói.
“Đúng rồi!” John đáp.
Chúc mừng,
Tiến sĩ Ron
