乡亲们
让我们来看看常春藤大学的一名研究生......
约翰-福斯特感到非常幸运。他不仅以最优异的成绩拿到了本科学位，现在还是常春藤大学的研究生，师从著名的帕蒂-科尔曼教授。正当他沉浸在这些愉快的想法中时，科尔曼教授走到了他的桌前，他正在做高级统计学的家庭作业。
"嘿，约翰，我有个小任务给你。ACME 的首席执行官迈克-麦迪根（Mike Madigan）有一个供应商，他保证 ACME 购买的每批二极管都是零缺陷，但当 ACME 拿到这批产品时，他们发现缺陷率约为 1%，甚至更高。你能联系一下 ACME 的质量工程师 Frank Ianonne 吗？帕蒂问道。"我们在你上学期上的统计入门课上讲过这个话题。
"当然，乐意效劳。"约翰答道。
"帕蒂感激地说："谢谢，我第一次参加SMTA 泛太平洋会议，有很多事情要做。
"哇，"约翰想，"压力山大啊。"
约翰联系了弗兰克，得知该供应商的销售工程师迈克-格拉德斯通（Mike Gladstone）说，他们从每批 10,000 件产品中抽样 20 个二极管。如果他们在 20 个样本中没有发现任何缺陷，他们就可以说没有缺陷，可信度为 95%，因为 20 个样本中有 19 个是 95%，而他们没有发现任何缺陷。
"呀，"约翰想，"这不可能是对的。"
他思前想后，特别是在看了科尔曼教授提到的那堂课的笔记后，终于想出了一个他确信无疑的答案。他联系了弗兰克，他们安排了一次与迈克的通话来讨论这个问题。
在自我介绍后的 Zoom 通话中，弗兰克问迈克，他们是如何确定一个批次是零缺陷的。
"迈克说："我很高兴有机会向你们解释这个问题。
约翰觉得他的语气似乎很傲慢。
迈克继续说："那么，你会同意 20 分中有 19 分是 95%吧？
"是的，"弗兰克和约翰回答道。
迈克说："因此，如果我们在 20 个样品中没有发现任何缺陷，那么在 95% 的置信度下，我们的批量产品就是零缺陷。如果我们在 20 个样品中只有一个缺陷，我们就不能声称这批产品没有零缺陷，"迈克说。
"迈克，请看我拍摄的图像，2000 个珠子中有一个缺陷（红色珠子）"（见图 1）。(见图 1）"如果我在容器左侧选取 20 个珠子，我怎么知道缺陷率是 0.0005（2000 分之 1）？
图 1.红色珠子是 2000 个 "缺陷 "中的一个。
长时间的沉默。
"弗兰克问道："迈克，你的答案是什么？
还是没有回音。
"约翰说："答案是，确保零缺陷的唯一方法就是对所有样品进行评估。
"你只是在用那张照片混淆视听，"迈克吐出一句。
"弗兰克说："我觉得很清楚。
"你们常春藤联盟的人都一样。你们用胡言乱语混淆视听，而任何傻瓜都能看出我是对的。"迈克大叫道。
随后，一些脏话接踵而至，弗兰克切断了迈克的 Zoom 连接。
"我明白你的意思，约翰，"弗兰克说。"但是，你能给我一些数学上的支持吗？"
"当然，"约翰回答道。
"让我们考虑这样一种情况：缺陷率不是零，而是相当低，比如在一个非常大的群体中，缺陷率为万分之一。当我们选择第一个样本时，它是好样本的可能性是 0.9999 (10000-1)/10000)。第二个样本是好样本的可能性有多大？约翰问道。
"啊，让我想想......0.9999，对吗？弗兰克回答道。
"但这两件事发生的可能性有多大？"约翰问道。
"等等，我记得几年前我上过统计课，它是 0.9999 x 0.9999，"弗兰克得意地说。
"连续三次都是好的可能性有多大？"约翰又问。
"0.99993，"弗兰克自信地回答。
"那么，假设我们取样很多次，我们称之为 n 次，0.9999n = 0.05。这说明了什么？"约翰问道。
"嗯，.........，"弗兰克回答道。
"那么，如果缺陷率是万分之一，这种情况发生的可能性有多大？"约翰问道。
"等等，我明白了，这只会发生在0.05%或5%的情况下"。弗兰克兴奋地回答道。
"约翰问："那么，假设我们不知道缺陷率，如果我们取样 n 次却没有发现缺陷，我们能说什么呢？
弗兰克被难住了。
"这样吧，你考虑一下，我们明天再来。现在已经快 6 点了。对了，看看你能不能算出 n 是多少。让我们在上午 10 点进行放大。"约翰提议道。
时间过得很快，约翰和弗兰克又开始 "Zooming "了。
"约翰，你差点要了我的命，我失眠了，但在查看了我的统计手册和做了一些 Youtubing 之后，我想我知道了。
"弗兰克得意地说："好吧，如果我们不知道缺陷率，但想知道缺陷率是否至少是万分之一，而且我们取样的 n 值为 0.9999n= 0.05，那么我们就可以以 0.95 (1 - 0.05) 的置信度说，缺陷率是万分之一或更低。
"正是如此，"约翰感叹道。
"但 n 是什么？"约翰问道。
"这就是我卡住的地方。我们有方程 0.9999n= 0.05，但我无法求出 n，"弗兰克沮丧地说。
"提示：对数，"约翰回答。
"就是这样，我知道了，"弗兰克热情地说。
弗兰克用计算器算了几分钟，得出了图 2 所示的解决方案。
图 2.缺陷计算
"弗兰克感叹道："因此，要以 95% 的置信度证明缺陷率为万分之一或更低，我们就必须对近 30,000 个部件进行抽样检查，而且不能发现任何缺陷。
"约翰说："通过观察等式，你可以发现如果缺陷率为零，0.9999 将被 1 取代，而 1 的对数为 0，因此你需要无限的样本。
"弗兰克说："因此，显示零缺陷的唯一方法就是对所有部件进行取样。
"对！"约翰答道。
干杯
罗恩博士
