패티 콜먼 교수는 아이비 대학의 자신의 사무실에 앉아 한 가지 자명한 사실을 곰곰이 생각하고 있었다. 그녀와 남편 롭은 둘 다 아이비 대학에서 일하고 있었지만, 쌍둥이 아들들을 그 대학에 보낼 여유가 없었다. 두 사람의 소득은 재정 지원을 받을 수 없을 정도로 충분했지만, 아이비 대학의 연간 약 10만 달러에 달하는 등록금을 감당하기에는 턱없이 부족했고, 특히 그 비용이 두 배로 늘어나는 상황에서는 더욱 그러했다. 다행히도 그들이 살고 있는 버몬트주의 버몬트 대학교는 학비가 훨씬 저렴했다. 두 아들 모두 재료공학을 전공하고 있었고, 대학원에 진학할 계획이었다. 패티는 대부분의 부모들이 공학이나 과학 분야의 대학원 과정이 무료일 뿐만 아니라, 학생들에게 급여까지 지급된다는 사실을 모르고 있다는 사실에 놀라움을 금치 못했다.

패티는 전화벨 소리에 이 상반된 생각들에서 정신이 번쩍 들었다.

“패티 콜먼 씨, 무엇을 도와드릴까요?” 그녀가 밝게 대답했다.

“패티 교수님, 매기예요. 웬 차오가 개발한 엑셀® 소프트웨어 도구가 큰 인기를 끌고 있어요. 그런데 지금 두 가지 샘플을 비교해 봐야 하는데, 저희를 도와줄 다른 학생이 있을까요?” 매기가 물었다.

“매기, 연락 주다니 정말 반가워. 마침 메리 프리치가 맡을 프로젝트가 하나 있거든. 내가 그녀와 네가 연락할 수 있게 해줄게,”라고 패티가 말했다. “그나저나, 지난번에 만났을 때 배가 좀 나온 것 같던데?” 패티가 장난스럽게 물었다.

“그래,” 매기가 말했다. “얼굴이 빨개지고 있네. 네가 제일 먼저 눈치챘구나.”

패티의 지도 덕분에 메리는 매기의 팀과 시간을 정해 해당 문제를 논의했습니다.

“무엇을 하려고 하는지 설명해 주실 수 있나요?” 메리가 줌을 통해 팀원들에게 물었다.

“두 개의 전이 효율 데이터 샘플을 비교해야 합니다. “샘플 1의 평균은 95.26이고, 샘플 2의 평균은 100.6인 것으로 나타났습니다,”라고 마이크 토마스가 대답했다.

“샘플 2가 더 좋은 것은 분명해 보이지만, 통계적으로도 더 나은 것일까요? 우리는 웬 카오가 알려준 단일 표본 검정 도구를 사용할 방법을 찾아보았지만, 사용하기가 어색했고 그 타당성에 의문을 품게 되었습니다,”라고 샤론 폭스가 설명했다.

“통계학 책에서 두 표본 가설 검정 방법을 찾아봤더니, 표본 2가 더 낫다는 것을 입증할 수 있었지만, 시간이 엄청나게 걸렸어요. 계산기를 사용하다 보니 데이터 입력 오류도 많이 발생했죠,”라고 피트 싱어가 덧붙였다.

“알겠어요,” 메리가 말했다. “제가 도와드릴 수 있을 것 같아요. 며칠만 주시면 계산을 수행할 수 있는 엑셀® 스프레드시트를 만들 수 있을 거예요.”

팀은 데이터를 메리에게 보냈고, 메리는 불과 며칠 만에 두 표본 가설 검정을 수행하는 엑셀® 스프레드시트를 만들 수 있었다. 다음 날, 메리는 벤슨 일렉트로닉스의 회의실에서 팀과 회의를 가졌다.

그녀는 컴퓨터 화면에 엑셀® 프로그램을 보여주었다. 그림 1을 참조하라.

그림 1. 두 데이터 세트에 대한 가설 검정을 수행하기 위한 메리의 Excel® 스프레드시트.

“당신이 주신 두 데이터 세트를 바탕으로, 이를 분석하기 위해 이 엑셀® 스프레드시트를 만들었습니다,” 메리가 말을 시작했다.

“두 세트의 데이터가 A열과 B열에 입력되어 있는 반면, 신뢰 수준은 D2 셀에 입력되어 있다는 점에 유의하십시오. 저는 제안된 차이가 0이 아니기를 원한다고 가정했지만, 만약 차이를 검정하고 싶다면 G2 셀에 그 값을 입력하면 됩니다. 저는 Wen이 설정한 서식을 그대로 유지했습니다. 흰색 숫자가 들어간 파란색 셀은 입력 데이터이고, 검은색 숫자가 들어간 회색 셀은 출력 결과입니다. I2 셀을 보면, 예상대로 표본 1의 평균이 95% 신뢰 수준에서 표본 2보다 통계적으로 작다는 것을 알 수 있습니다,”라고 메리가 요약했다.

“다른 회색 세포들에 대해서도 설명해 주실 수 있나요? 특히 D10부터 D15까지의 세포들 말이에요.” 스티브 베이커가 물었다.

“D10과 D11은 각 표본의 평균 표준오차이다. D12는 통합 표준편차이며, D13은 통합 ‘t-점수’이다 . 이러한 용어들은 몽고메리의 『엔지니어를 위한 통계학 및 확률론』[i]에 설명되어 있다.”

“각 표본의 평균에 대한 신뢰 구간이 G6~I7 셀에 표시되어 있군요,” 샘 번스가 말했다.

몇 가지 질문과 의견이 더 오간 뒤 회의가 마무리되었습니다.

따라서 벤슨 일렉트로닉스의 엔지니어들은 이제 표본이 하나 또는 두 개인 경우 가설 검정을 수행할 수 있는 소프트웨어를 갖추게 되었습니다. 하지만 표본이 세 개 이상이라면 어떻게 될까요?

분산분석을 이용한 배뇨 데이터 분석

아이비 대학의 패티 콜먼 교수는 SMTA 팬 퍼시픽 행사에 한 번도 가본 적이 없었지만, 이번에는 과감히 도전하기로 마음먹었다. 동부에서 출발하는 항공권 요금이 600달러 정도밖에 안 된다는 사실에 놀랐지만, 확실히 긴 여정이긴 했다. 하지만 뉴잉글랜드의 혹독한 겨울에서 일주일 동안 벗어나 쉴 수 있다는 생각은 꽤 매력적이었다. 올해 컨퍼런스는 하와이 빅 아일랜드에서 열렸다. 킬라우에아 화산이 활화산인 듯했고, 섬에는 훌륭한 천문 투어도 마련되어 있었다. 그래서 그녀는 앞으로 펼쳐질 일들에 기대가 컸다. 갑자기 그녀의 아이폰이 진동했다. 매기 벤슨이 보낸 문자였다.

“패티 교수님, 학생분들이 만든 두 가지 가설 검정용 엑셀® 스프레드시트가 정말 큰 도움이 되었는데요, 이제 네 개의 표본에 대해 분석을 수행해야 합니다. 이 표본들은 공극을 최소화하기 위해 진행한 실험에서 얻은 것입니다. 제 기억으로는 이런 유형의 데이터에는 분산분석(ANOVA)을 사용하는 것으로 알고 있습니다. 다시 한번 도와주실 수 있나요?”

항상 이런 식으로 일이 잘 풀리는 게 참 신기하지만, 마침 그녀의 학생 중 한 명인 메건 윌리엄스가 학위 논문을 위한 프로젝트가 필요했기 때문에 타이밍이 딱 맞았습니다. 하지만 이 Excel® 소프트웨어 도구를 만드는 데는 생각보다 훨씬 더 많은 시간이 걸렸습니다. 벤슨 일렉트로닉스 팀과 여러 차례 회의를 거친 끝에, 메건은 마침내 완성된 소프트웨어 도구를 손에 넣을 수 있었습니다.

“이 작업을 개발하는 데 생각보다 시간이 좀 더 걸렸어요. 어려움 중 하나는 ‘투키 수(Tukey Number)’라는 측정 지표가 필요했는데, 이 지표는 온라인이나 엑셀®(Excel®)에는 존재하지 않아서 직접 표를 만들어야 했기 때문이에요,”라고 메건이 설명했습니다. “그 후 여러분이 보내주신 배뇨 데이터를 받아 분석했습니다,”라고 그녀는 덧붙였습니다. 그림 2를 참조하세요.

그림 2. 엑셀®에서 생성된 메건의 ANOVA 출력 결과.

“데이터는 A열부터 D열까지 입력되어 있습니다. 결과는 회색 셀에 표시되어 있습니다. 보시다시피, 평균값은 G3셀부터 G6셀까지에 있습니다. 시료 1은 확실히 더 낮고, 시료 2와 3은 거의 비슷하며, 시료 4는 뚜렷이 더 높습니다. G9셀부터 H14셀까지를 보면, 시료 2와 3을 제외하고는 모든 차이가 유의미한 것으로 나타납니다. 질문 있으신가요?” 메건이 물었다.

“신뢰 수준은 어느 정도인가요?” 샘 존스턴이 물었다.

“좋은 질문이네요. 95%입니다. 앞서 언급했던 투키(Tukey) 수치는 다른 신뢰 수준에서는 구하기 어려우므로, 현재로서는 95% 신뢰 수준에 대해서만 계산할 수 있습니다,”라고 메건이 말했다. “또한 엑셀®을 사용하여 데이터의 박스 플롯을 계산했습니다.” 그림 3을 참조하십시오.

그림 3. 데이터의 박스 플롯.

박스 플롯은 데이터를 잘 시각화해 주지만, 계산된 통계적 유의성에 대한 정보는 제공하지 않습니다.

회의가 종료되었고, 벤슨 일렉트로닉스 팀은 이제 1개, 2개, 3개, 4개, 5개, 6개의 표본에 대한 데이터를 분석할 수 있는 통계 도구를 갖추게 되었다.

이 소프트웨어 도구 중 어떤 것이든 복사본을 원하시는 분은 [email protected]으로 연락해 주시기 바랍니다.

건배,

론 박사

[i] 『 공학자를 위한 통계와 확률』, 몽고메리 더글러스 C., J Wiley and Sons,^제4판, PPF 354, 2007.