派蒂·科爾曼教授當時正在常春藤大學的辦公室裡，思索著一個不言而喻的事實。她和丈夫羅伯雖然都在常春藤大學任教，卻無力讓雙胞胎兒子就讀這所學校。他們的收入雖高到無法獲得任何助學金，卻又不足以負擔常春藤大學每年近十萬美元的學費，更何況還要乘以二。 所幸，他們居住的佛蒙特州內，佛蒙特大學的學費就親民得多。兩位兒子都主修材料工程，並計畫攻讀研究所。派蒂不禁感嘆，多數家長並不知道工程或科學領域的研究所學費是免費的，學生甚至還能領到薪水。

電話的鈴聲將帕蒂從這些矛盾的思緒中驚醒。

「派蒂·科爾曼，有什麼可以幫您嗎？」她開朗地回答道。

「派蒂教授，我是瑪吉。文草開發的 Excel® 軟體工具大受好評。不過，我們現在需要比較兩個樣本。您那裡還有其他學生能幫我們嗎？」瑪吉問道。

「瑪吉，很高興收到你的消息。剛好瑪麗·弗里奇正需要一個專案。我讓她跟你聯絡吧，」派蒂說。「對了，上次我們見面時，我看到的是孕肚嗎？」派蒂打趣道。

「是啊，」瑪吉說：「我臉都紅了，你是第一個發現的人。」

在帕蒂的指導下，瑪麗與瑪吉的團隊約好時間，共同商討這個問題。

「你能說明一下你們想做什麼嗎？」瑪麗透過 Zoom 問團隊。

「我們需要比較兩組傳輸效率數據。 我們發現樣本 1 的平均值為 95.26，樣本 2 的平均值則為 100.6，」麥克·湯瑪斯回應道。

「表面看來樣本 2 似乎較佳，但從統計學角度來看是否確實更優？我們曾嘗試運用文曹提供的單樣本檢定工具，但操作起來相當棘手，且對其有效性產生質疑，」莎倫·福克斯解釋道。

「我在統計學書上查了如何進行雙樣本假設檢定，我們雖然證明了樣本 2 表現較佳，但花費了極長的時間。我們使用計算機，而且輸入數據時出現了許多錯誤，」皮特·辛格補充道。

「好，」瑪麗說：「我想我能幫上忙。給我幾天時間，我應該能製作一份 Excel® 試算表來進行這些計算。」

團隊將資料傳送給瑪麗，短短幾天內，她便製作了一份能進行兩樣本假設檢定的 Excel® 試算表。隔天，瑪麗便在班森電子公司的會議室與團隊會面。

她展示了電腦螢幕上的 Excel® 程式。請參見圖 1。

圖 1. 瑪麗用來 對兩組資料進行假設檢定之 Excel® 試算表。

「我拿了你給我的那兩組資料，並製作了這個 Excel® 試算表來分析它們，」瑪麗開口說道。

「請注意，這兩組資料分別輸入在 A 欄和 B 欄中，而信賴水準則位於 D2 儲存格。我假設我們不希望所提出的差異值與 0 不同，但如果我們想檢驗差異，則應將差異值輸入至 G2 儲存格。我保留了文所設定的格式。 藍色儲存格搭配白色數字代表資料輸入，而灰色儲存格搭配黑色數字則代表輸出結果。從儲存格 I2 可以看出，正如預期，樣本 1 的平均值在 95% 信賴水準下，統計上小於樣本 2，」瑪麗總結道。

「你能解釋一下其他一些灰質細胞嗎？具體來說是 D10 到 D15 之間的細胞？」史蒂夫·貝克問道。

「D10 和 D11 分別是各樣本的平均數標準誤。D12 是合併標準差，而 D13 則是合併「t 分數」。這些術語在蒙哥馬利的《工程師的統計學與機率論》一書中有詳細說明。[i]」

「我看到每個樣本的平均數信賴區間都顯示在 G6 至 I7 儲存格中，」山姆·伯恩斯說道。

與會者又提出了一些問題和意見，隨後會議便圓滿結束。

因此，本森電子公司的工程師們現在已經擁有能夠對一個或兩個樣本進行假設檢定所需的軟體。但如果他們有三個或更多樣本呢？

運用方差分析來分析排尿數據

常春藤盟校的帕蒂·科爾曼教授從未參加過 SMTA 泛太平洋會議，這次她決定放手一搏。令她驚訝的是，從東岸出發的機票價格僅在 600 美元左右，但她也承認這是一段漫長的旅程。然而，能暫時逃離新英格蘭嚴酷的冬季、享受一週的休閒時光，這個念頭實在令人心動。 今年的會議在夏威夷大島舉行。據說基拉韋厄火山正處於活躍狀態，而且島上還有極佳的天文觀光行程。因此，她對此行充滿期待。突然間，她的 iPhone 震動起來。是瑪吉·本森傳來的簡訊。

「派蒂教授，您學生開發的這兩份假設檢定 Excel® 試算表非常有幫助，但現在我們需要對四個樣本進行分析。這些樣本來自我們為減少廢棄率而進行的實驗。我記得這類數據通常會使用變異數分析（ANOVA）。您能再次協助我們嗎？」

說來真奇妙，事情總能如此水到渠成——她的學生之一梅根·威廉斯（Megan Williams）正需要一個畢業專題，因此時機再完美不過。不過，開發這個 Excel® 軟體工具確實花了不少時間。經過數次與本森電子（Benson Electronics）團隊的會議後，梅根終於完成了這個軟體工具。

「這項開發花的時間比我預期的要長一些。其中一項挑戰在於，我需要一個名為『Tukey 數』的指標，但這個指標在網路上或 Excel® 中都找不到，所以我不得不為此建立一個表格，」梅根解釋道。「接著，我根據你傳來的排尿數據進行了分析，」她接著說。請參見圖 2。

圖 2.梅根從 Excel® 產出的方差分析（ANOVA）結果。

「資料輸入在 A 至 D 欄中。結果顯示在灰色儲存格內。如您所見，平均值位於 G3 至 G6 儲存格。樣本 1 的數值明顯較低，樣本 2 和 3 則大致相同，而樣本 4 的數值則明顯較高。從 G9 至 H14 儲存格可以看出，除了樣本 2 和 3 之外，其餘所有差異均具統計顯著性。大家還有什麼問題嗎？」梅根問道。

「信賴水準是多少？」山姆·約翰斯頓問道。

「這是個好問題。信賴水準是 95%。我之前提到的 Tukey 數值，在其他信賴水準下很難找到，因此目前只能計算 95% 的信賴水準，」梅根說。「我還使用 Excel® 來計算這些資料的箱線圖。」請參見圖 3。

圖 3.資料的箱線圖。

箱線圖能很好地視覺化呈現數據，但無法讓人了解所計算出的統計顯著性。

會議結束後，本森電子團隊現已擁有統計工具，可用於分析一、二、三、四、五及六個樣本的數據。

若有人想取得這些軟體工具的任一版本，請寄信至[email protected] 聯絡我。

乾杯

羅恩博士

[i] 《工程師的統計與機率》，蒙哥馬利·道格拉斯·C. 著，威利父子出版社，^第4版，PPF 354，2007年。