皆さん、
パティをチェックしよう......。
パティは ベイズの定理についての講義を熱心に準備していた。彼女はいつも、この定理が確率と統計の分野で最も奥深いものだと感じていた。親友が結婚前に結核のタイネテストを受け、陽性反応が出たときのことだ。そのテストは結核患者を99.9％の精度で特定できると謳っていた。彼女の友人は、どうやら自分がこの古くからある恐ろしい病気にかかっているらしいと知り、打ちのめされた。さらに調査を進めると、99.9％という数字は、正確には "もしあなたが結核に罹患していれば、この検査で99.9％の確率で検出される "というものであることがわかった。偽陽性である。この割合は5％であった。結核に罹患している人は非常に少ないので、偽陽性率が5％ということは、結核検査で陽性と判定された人のほとんどが偽陽性であり、結核ではなかったということになる。そのため、彼女の友人については、多くの人が安堵した。この状況は 偽陽性のパラドックスの一例である。
パティが物思いにふけっていると、電話の着信音に驚いた。市外局番と局番を見て、パティが以前勤めていた会社、ACMEからだとわかった。彼女は電話に出た。
「コールマン教授」とパティは答えた。彼女はその響きが気に入った。
「やあ、パティ！レジー・ピアポントだよ！」元気な声が宣言した。
パティの心は沈んだ。レジーはいい男だったが、いつも自分の理解できないことに首を突っ込み、経営陣に高くて効果のない戦略をとらせることが多かった。それほど説得力があった。
「レジー、どうしたの？パティは半信半疑で言った。
「マディガンが、新しいテスターを注文する前に君に電話しろと言うんだ。時間の無駄だと思いますが、命令に従います」とピアポントは言った。
「詳細は？パティが尋ねた。
「ドルイド携帯電話を週に10万台生産する契約を結んでいる。一次通過の歩留まりは99％以上だと確信しています」と彼は話し始めた。
「印象的だった」とパティはしみじみと言った。
"迅速な機能テストで99.9％の確率で欠陥電話を特定するテスターを注文したい。このテスターは非常に高価なので、マディガンは購入前に正常性チェックを望んでいる。もうひとつ重要なのは、欠陥のある携帯電話を出荷した場合、顧客から多額の違約金を請求されるということだ」とレジーは続けた。
「ペナルティが大きければ、99.9％というのは正しい数字だ。テスターが不良品と判断したユニットはどうするんですか？パティが尋ねた。
「歩留まりが高いのはいいことだ。携帯電話はとても複雑なので、欠陥を見つけて修理するまでにかなりの時間がかかります。欠陥を見つけるだけで、5ドルから10ドルの負担がかかりますが、携帯電話の価値を考えれば、それだけの価値はあります。私が言ったように、歩留まりが高いので、この処置が必要なユニットがあまり多くないのは良いことです」とピアポントは続けた。
「テスターによる誤検知は？パティが尋ねた。
「このテスターの精度は99.9％だから、問題ないよ。
パティはピアポントが自分の言いたいことを見逃していることを知っていたが、彼を困らせたくはなかった......。
「レジー、君の話からすると、もしユニットに欠陥があった場合、テスターは99.9％の確率でそれを検出する。私が聞きたいのは、もしあるユニットが良品であったとして、テスターがそれを不良品だと言うのはどれくらいの頻度なのかということです。パティはこう答えた。
「とピアポントは答えた。
"良い "と呼ばれるような悪いユニットの割合だ。これらのユニットはしばしば『エスケープ』と呼ばれる。99.9％という数字からは判断できません」とパティは続けた。
電話の向こうは沈黙していた。
"偽陽性数を得るためにはどうすればいいんですか？"レジーが訊いた。
「1,000台程度の良品ユニットをテストし、テスターが不良と答えたユニットが何台あるかを確認する必要があります」とパティは言う。
「テスター会社が貸してくれているテスターでテストして、また連絡します」とピアポントは答えた。
パティは電話を切った。彼女は、ピアポンの問題がベイズの定理と友人のタイネテストによる偽陽性と密接に関係していることを興味深く思った。
2日が過ぎ、パティ、ロブ、ピートは教授との昼食から戻ったところだった。パティとロブ、ピートは教授と昼食を共にした。そこで、彼らは教授にランチをご馳走することにした。
彼女がオフィスに入ると、ピートが口を開いた。
「レジー・ピアポントから連絡はあったのか？ピートが訊いた。
いや、たぶん、私はもう大丈夫だよ」とパティは笑った。
その瞬間、彼女の携帯電話が鳴った。ピアポンからだった。
「やあ、レジー！どうしたの？"パティは自分の気持ち以上に熱意を込めて尋ねた。
「テスターによれば、良品の5％が不良品だという。
「もう一度テスターにかけたら？パティが尋ねた。
「それは2回以上通すことだ！1回だけなら7％だ」とレジーはため息をついた。
「数字を見てみよう。あなたは週に10万個を生産しており、5％の偽陽性率で5,000個です。歩留まり損失は1％の1,000個です。つまり、実際には1,000個しか不良品がないのに、テスターは約6,000個を不良品と判定することになります。この数字は少しずれている。ベイズの定理が正確な数字を教えてくれるだろうが、これは非常に近い。テスターが不良品を分析するプロセスには、1台あたり少なくとも5ドルのコストがかかりますから、偽陽性のために1週間あたり2万5000ドルの損失を被ることになります」とパティは詳しく説明した。
「新しい戦略の時だ」とピアポントはため息をついた。
パティとピートは、ピアポントがテスターベンダーと協力してより良い戦略を立てるのを手伝うことに同意した。
エピローグ
パティとピートは、ピアポントがテスターベンダーと協力して効果的なテスト戦略を開発するのを手伝った。パティもピートも、それまでレジーとはあまり面識がなかったが、この共同作業の後、かなり親しくなった。パティもピートも、レジーとはそれまで面識がなかった。パティはそのデータのいくつかを授業で使うことができた。
数週間後、彼女は美しいカードを郵便で受け取った。彼女はそれを開いた。親愛なるパティ、いつもありがとう。あなたとピートが私たちのテスト戦略を助けてくれたからこそ、私たちは成功したのです。よろしく、あなたの忠実な生徒、マイク・マディガン"
パティは少し声を詰まらせた。
乾杯
ロン博士
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