韋布爾曲線的推導
朋友們
上次我們介紹了韋布（Weibull）分析。現在讓我們推導出計算斜率、β 值以及特徵壽命 ε 所需的關係式。
F(t) 是從 0 到 1 的累計失效率。若將 Ln(t) 設為 x，LnLn 1/(1-F(t)) 設為 y，則預期會得到一條直線。參見上文的推導。可透過圖形方式證明此事實成立。 因此，若在對數格線紙上繪製 F(t) 隨 t 變化的曲線，直線的斜率即為 β。要確定 ε，請在下方的第一個方程式中令 t = ε。結果為 F(t) = 1 - e⁻¹= 0.632。因此，當 63.2% 的零件發生故障時，該時間即為 ε，也就是特徵壽命。
讓我們來檢視一些比較 SAC305 與SACm®（含約 0.1% 錳的 SAC105）BGA 焊球在熱循環測試中表現的數據。主要採用的測試載體為鍍有 NiAu 層的 TFBGA，並安裝於鍍有 OSP 層的 PCB 上。SACm®是一種具有突破性的新型焊接合金，其抗跌落衝擊性能優於 SAC105，且熱循環性能可與 SAC305 媲美。 數據如下所示。第一欄為樣本編號，第三欄與第五欄分別為 SAC305 和SACm® 發生失效所需的熱循環次數。第二欄與第四欄則為樣本編號的排名。一般而言，第二欄的首個數值應為 100*(1/15) = 6.67%，因其代表樣本失效的累積百分比，但此處需進行微幅修正。 如上圖所示，將排名的對數（LnLn1/(1-F(t))）與失效週數的對數作圖，即可得到威布爾曲線。最佳擬合直線的斜率等於 β，而排名為 63.2% 時的週數即為 η。
所幸像 Minitab 16 這樣的軟體會自動進行繪圖以及 beta 和 eta 的計算。結果如下：
我們可以看到，SAC305 的形狀參數（β）為 1.76，而SACm®的形狀參數（β）則為 6.09；其尺度或特性壽命（η）分別為 1736.8 和 2016.8。 這些結果充分展現了對SACm® 的高度信心。其陡峭的斜率（高 beta 值）顯示出更緊密的分布，意味著焊點的一致性更高，且其特性壽命（eta）也略高一些。
我計畫針對這個主題開設詳細的工作坊。我會隨時向各位更新相關資訊。
乾杯
羅恩博士
